Fijación del gráfico

En la teoría del gráfico topológica, una fijación (también incrustar deletreado) de un gráfico en una superficie Σ es una representación de en Σ en el cual los puntos de Σ tienen que ver a vértices y los arcos simples (homeomorphic imágenes de [0,1]) tienen que ver a bordes de tal modo que:

Aquí una superficie es un compacto, relacionado de 2 distribuidores.

Informalmente, una fijación de un gráfico en una superficie es un dibujo del gráfico en la superficie de tal modo que sus bordes sólo se pueden cruzar en su endpoints.

A menudo, una fijación se considera como una clase de equivalencia (bajo homeomorphisms de Σ) de representaciones de la clase sólo descrita.

Algunos autores definen una versión más débil de la definición de "la fijación del gráfico" omitiendo la condición de la no intersección para bordes. En tales contextos la definición más estricta se describe como "la fijación del gráfico que se no cruza".

Este artículo sólo trata con la definición estricta de la fijación del gráfico. Hablan de la definición más débil en los artículos "dibujo del gráfico" y "cruce del número".

Terminología

Si un gráfico es introducido en una superficie cerrada Σ, el complemento de la unión de los puntos y arcos asociados a

los vértices y los bordes de son una familia de regiones (o caras). Una fijación de 2 células o el mapa son una fijación en la cual cada cara es homeomorphic a un disco abierto. Una fijación de 2 células cerrada es una fijación en la cual el cierre de cada cara es homeomorphic a un disco cerrado.

El género de un gráfico es el número entero mínimo n tal que el gráfico puede ser introducido en una superficie de género n. En particular, un gráfico plano tiene el género 0, porque se puede usar una esfera sin el autocruce. El género non-orientable de un gráfico es el número entero mínimo n tal que el gráfico puede ser introducido en una superficie non-orientable del género (non-orientable) n.

Fijación combinatoria

Un gráfico introducido únicamente define pedidos cíclicos del incidente de bordes al mismo vértice. El juego de todos estos pedidos cíclicos se llama un sistema de rotación. Se considera que Embeddings con el mismo sistema de rotación son equivalentes y la clase de equivalencia correspondiente de embeddings se llama la fijación combinatoria (a diferencia del término fijación topológica, que se refiere a la definición anterior en términos de puntos y curvas). A veces, el propio sistema de rotación se llama una "fijación combinatoria".

Un gráfico introducido también define pedidos cíclicos naturales de bordes que constituye los límites de las caras de la fijación. Sin embargo el manejo de estos pedidos basados en la cara es menos franco, desde en algunos casos algunos bordes se pueden cruzar dos veces a lo largo de un límite de la cara. Por ejemplo esto siempre es el caso para embeddings de árboles, que tienen una cara sola. Para vencer este fastidio combinatorio, uno puede considerar que cada borde "se parte" a lo largo en dos "medio bordes" o "lados". Según esta convención en todo el límite de la cara traversals cada medio borde sólo se cruza una vez y los dos medio bordes del mismo borde siempre se cruzan en sentidos contrarios.

Complejidad computacional

El problema de encontrar el género del gráfico es NP-hard (el problema de determinar si un gráfico del n-vértice tiene el género g es NP-complete).

Al mismo tiempo, el problema del género del gráfico es el parámetro fijo manejable, es decir, se conoce que los algoritmos del tiempo polinomios comprueban si un gráfico puede ser introducido en una superficie de un género fijado dado así como encontrar la fijación.

La primera brecha a este respecto pasó en 1979, cuando los algoritmos de la complejidad del tiempo

O (los n) independientemente se presentaron al Simposio ACM Anual a la Teoría de la Informática: un por mí. Filotti y G.L. Miller y el otro por John Reif. Sus enfoques eran completamente diferentes, pero sobre la suposición del Comité de programa hicieron un informe conjunto.

En 1999 se relató que el caso del género fijo se puede solucionar a tiempo lineal en la talla del gráfico y doblemente exponencial en el género.

Embeddings de gráficos en espacios más altos y dimensión

Se sabe que cualquier gráfico puede ser introducido en un espacio tridimensional.

Un método para hacer esto es colocar los puntos en cualquier línea en el espacio y dibujar el m de bordes como curvas cada una de las cuales está en uno del m de medioaviones distintos que tienen esa línea como su límite común. Se llama una fijación como esto en el cual los bordes se usan medioaviones una fijación del libro del gráfico. Esta metáfora viene de suponer que cada uno de los aviones donde un borde se dibuja parece a una página de un libro. Se observó que de hecho varios bordes se pueden dibujar en la misma "página"; el grosor del libro del gráfico es el número mínimo de medioaviones necesarios para tal dibujo.

O bien, cualquier gráfico se puede dibujar con bordes constantes en tres dimensiones sin cruces colocando sus vértices en la posición general de modo que ningunos cuatro sean coplanar. Por ejemplo, esto se puede conseguir colocando el vértice ith en el punto (yo, yo, i) de la curva del momento.

Se llama una fijación de un gráfico en el espacio tridimensional en el cual ningunos dos de los ciclos topológicamente se unen una fijación linkless. Un gráfico tiene una fijación linkless si y sólo si no tiene uno de los siete gráficos de la familia Petersen como un menor.

Véase también



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